Déduction des propriétés principales de la fonction etc. 47 



Dans ce paragraphe uous appliquerons la notion de rapport an- 

 harmonique aux quelques formules démontrées auparavant. Nous désig- 

 nons, pour cet effet, par if{a) une fonction elliptique quelconque du 

 second ordre aux périodes 2(u , 2cü', et nous distinguerons les deux cas 

 suivants. 



1) Supposons que la fonction ip{u) ait deux infinis simples, nous 

 obtiendrons des formules (257), (258), (259), en combinant celles-ci 

 entre elles. 



(273) 



-~ (xq — .i-i) {X2 



,) = ^2 — ^3 , 



(274) 



— (x'o — .c^{j:-i — i'i) = (?3 



(275) 



4- Cïo - ■i'3)C'i -- x-^ = «^1 



et de ces équations on tire, par division, 



(276) 

 (277) 

 (278) 



{x q — xi) { xj — Xj) ^ ^2 — e-i 



{Xo — X3)(_X-j — Xi) «2 — 6, 



(xq — X 2 ) (x3 — xi) ^ e^ — e^ 



(.ïo — .r,) (xi — .x's) e-i — e^ 



(xç) — x ;! ){,xi — X2) ^ ei—e^ 



(xo — X2){xi — .rs) ^i — ^3 



L'une quelconque de ces trois formules peut être déduite des 

 deux autres. Il s'ensuit de l'équation (276), que le rapport anharmo- 

 nique des quantités Xç, , x.^ , x^ , x^ sera égal au rapport anharmonique 

 des quantités 00 , (', , e-, , e-j, . 



2) En supposant, que la fonction ((.{u) ait un infini double, nous 

 déduirons des équations (272) 



(279) a,{xi —X3) = e, — e^ , a,{x,- 

 et, par conséquent. 



.'1, 



= t?3 _ é^i , a, (a 



Xi 



J — ^1 — ^2 ) 



(280) ^?-=lf' 



X2 — Xi 



^i — ^3 X-i — X'i 



«2 — (?i Xs — Xi 



^3 ^2 ^1 — ^3 



es 



