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On peut déduire l'une quelconque de ces trois formules des deux 

 autres, et de la première formule on conclura, que le rapport anharmo- 

 nique des quantités oo , x^ . j-^ , x^ sera égal au rapport anharmonique 

 des quantités oc. , e^ , <?2 , ^3 . 



Théorème XVII. Désignons par (/)(u) une fonction elliptique du se- 

 cond ordre aux périodes 2cu , 2 co , et soit 



(d x\^ 



[, ] -= a,oX^ 4- Aa^x^ -f ^a^x^ -\- ^^a^x + a^ 



Sun équation différentielle. Si la fonction <f(u) admet deux infinis simples, 

 le coefficient a^ ne s^anmdera pas, et en désignant par x^ , Xj . Xj , Xj les 

 racines du polynôme 



a^.t* + 4ai ,r' -f 6 a,,x''' -\- 4a,,x -f a^ , 



convenablement rangées, le rapport arliarmonique des quantités Xq , Xj , Xg , x^ 

 sera égal au rapport anharmonique des quantités co , Cj , 62 . e^ . Si la 

 fonction y(u) a un infini double, le coefiicient &(, s'annulera, mais a^ sera dif- 

 férent de zéro, et en désignant par x, . Xa , X;, les racines du polynôme 



AayX^ -\- ^a^x^ 4- 4a3^ + a^ , 



convenablement rangées, le rapport anharmonique des quantité'< 00 , Xj , Xa , 

 X3 sera égal au rapport anharmonique îles quantités 00 , e^ , e2 , 63 . 



Soient maintenant v^ , v.^ les infinis de la fonction </)(u), nous aurons 

 d'après le théorème V 



ap{u-'^l±^)+ß 

 (281) <ß(u) = = 



rp (,« - -^"J + f' 



a , fi .1 y , â étant des constantes, qui jouissent de la propriété, que 

 aâ — ßy ne s'annule pas. En désignant par a, a", a' trois quantités 

 quelconques, nous obtiendrons de l'équation (281) 



(282) cp(u + 3 + ^0 = ^^M+^ , q.(u + !i±iï + a) = ^l/L(" + «)±/^ , 



( , '«^1 + î'a , 'A o:w(M + a")4-/3 / , u, + 1'2 , A o!/)(t< + a')4-/5 

 '^ ^ 2 ^ / ;/;)(« + a") + <)^^ ^ 2 ^ ^ ;.p(?«.fa') + fy' 



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