30 A. Berger, 



et des équations (109) et (110) on obtiendra 



(111) l6^==-'\^^^\le^ = -'-^^'~^^ • 



Cela posé, si l'on effectue des réductions dans le second membre 

 de l'équation (107) au moyen des formules (108) et (111), de manière 

 que la quantité 6 s'évanouisse, et qu'on ensuite égale entre elles les 

 parties rationelles et les parties irrationelles des deux membres de cette 

 équation, nous obtiendrons les deux fonctions YÇx) et ZÇx) . En intro- 

 duisant les expressions, ainsi obtenues, de ces fonctions dans le second 

 membre de l'équation (103) ou de l'équation (105), nous aurons la somme 

 de la série (106). 



Exemple 1. Pour A = 5 on aura 



a=l,4; 6=2,3, 

 et des équations (107), (108;, (111) nous obtiendrons 



r(x)-Z(x)\i'E\ = 2(l-xe)(l-xe') , 

 6' = 1 , e^+e^+ö' + e + l = , 



« + ,< = ^li^,«'+,. = ^^lvÄl , 



et de ces équations on tire 



F(.r) = 2 + ^ + 2^^ , ZCx) = x , 

 et par suite on obtiendra de l'équation (103) pour — 1 < x < 1 la formule 



:Li_ 2 + x + 2x' + xU'5\ 





2+x + 2x'-x\i5\ 

 Exemple 2. Pour A = 28 on trouvera 



a = 1 , 3 , 9 , 19 , 25 , 27 ; 6 = 5 , 11 , 13 , 15 , 17 , 23 , 

 et des éqations (107), (108), (111) on tire 

 rÇx) - Z{x)\]/J8\ = 2{l-xe)a-x6'){l~x6'){l-xe''){l-xe''){l-xe'') , 



