Sur quelques Applications de la Fonction F, etc. 21 



Ces deux inégalités donnent, après quelques réductions faciles, 



n 



V 4(^') = n\ogn + (2C~- 1) n + AI « , 



(104) 



où la quantité A est comprise entre — 4 et -}- 4. 



Désignons par T(a, h) la moyenne arithmétique des valeurs, que 

 la fonction "^-C^) obtient pour 



k = a -\-\, « + -, .... ti — 1, h^ 



ou ce qui revient au même 



(105) r(a,h) = Mog/.-.., logg ,^,_^ A,)ô-A,ù . 



— a b—a 



8oit < une telle fonction de ??, que pour 



lim 1=0 

 n 



lim 1:^ = , 



t 



on obtient de la formule (105), en posant 



n = oo 



(106) 



a = n — t , h = n -\- 1, 

 lim \ 2\n — t, n + <) — lognl = 26', 



c'est-à-dire: Lci nombres entiers environnant n ont en moyenne chacun 

 log/i + 26' diviseurs. 



Pour a = 0, b = ne on obtient de l'équation (105) 



(107) lim i ^(O, M^— log«, 1 = 26', 

 et ainsi des équations (106) et (107) 



(108) lim \ T(ii—t, n + — ^'(0, ne) j = , 



c'est-à-dire : Les entiers environnant n ont en moyenne chacun autant de 

 diviseurs que tous les nombres compris entre 1 et ne. 

 On obtient de l'équation (105) pour s = oo 



