Sur quelques Applications de la Fonction F, etc. 27 



c'est-à-dire: La somme des (_2s — 1)'*""^« puissances inverses des diviseurs d'un 

 nombre entier est^ en moyenne, éijale à 



B,(2iTr 



2 .1.2 .^ ...2s 



§• 15. 

 De la somme des puissances impaires des diviseurs dun nombre entier. 



Si les diviseurs du nombre k sont 



(135) f/i, d.,, (/3, f/^, 



il est clair, que les quantités 



(136) A, |, |, A 



sont des nombres entiers; elles sont aussi diviseurs de k\ de plus, 

 puisque elles sont toutes inégales, les groupes de nombres (135) et 

 (136) sont identiques. Par conséquent 



c-+rf-+...+<//- = p-)^,+,-i-.+---+T:kS 



Enfin, en désignant par ■4'(Â,) la somme des (2s — \yi^^^ puissances 

 des diviseurs du nombre k, et en donnant à '4'(k') la même signification 

 que dans §. 14, nous aurons 



(137) ^I'(i•) = ^■""'4(^•)• 



De la formule (137) ou déduit 



«+( 



ri38) Z Kf^) = {nJr^tr-' 1 -^(k) , 



n—t+l n-l+1 



dans laquelle — 1 < 9 < -|- 1. Désignons par T(a,b) la moyenne arith- 

 métique des valeurs de la fonction •*(A) pour 



k = a -\^\, rt -f 2, .... h — 1, ?), 



et supposons, que t soit une telle fonction de n, que pour n = 00 



