Sur quelques Applications de la Fonction F, etc. 73 



un nombre entier -\- un c fr act ion propre^ 



et (itie Jj(-. <*i/3) (li'm/ne le nouihre de eelle.'< de ce f fractions^ ijnl sont covi-- 

 j}yi><ef' entre a, et /3, on aura pour n= oo 



(305) ^(^^(^s.riogiXl + »)_rfnogn;+g), 



^ ' n iXf^j ( da.^ dß'' \ 



Nou« passei'ons maintenant à la dc-niünstration de quelques pro- 

 priétés, relatives à la fonction r, dont nous ferons usage dans ce qui 

 va suivre. Nous démontrerons d'abord (|uo la formule (9) subsiste pour 



toutes les valeurs de ./■, qui sont jtlus grandes (jue — - . En effet, d'a- 

 près la définition (2) on a pour k = oo 



(266) r(.+ l)-lm /^+'>V/--,^---<'-; ^, 



(2(57) 



if. + i) = lim ^- + ^)'"'-^;--3----(^-3 i^ 



k 



— -— ) 



268) r(2. + 1) = lim C^/^+^r.l.2.S....(2k- l)2k 



^ ^ ^ (2,7-+l)(2..+ 2)....(2.r + 2A0 



De ces fornniles on obtient 



r^-).. , i> = ^^^™krri '^ 1. 3.3.5. ...f2A--lK2^- 



(2<'9) ¥(pr^) = ''''''\2ktl) ' 1.3.3.5....(2A-1)(2ITÎ) 



Fin appliquant la formule de Wallis à l'équation (269) on aura 



^ ^ r(2x + 1) 



formule, qui est vraie pour toutes les valeurs de a:, qui sont plus gran- 

 des <|ue — -. De l'équation (270) on déduit, en ayant égard à la formule (3), 



Xnva Acta Keg. Soc. Sc. Ups. Ser. Ill ■ 'O 



