14 Ernst Pfaknenstiel, 



lim E\/\ . [Dr^D.ri - D,M . D,.ri] 



(18) rn.^^ 



= lim i?iV'2- 



(i)..5 + ^^As)' 



Der vorhergehenden Entwickelung gemäss können wir die sämmt- 

 lichen linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit 2 

 unabhängigen Veränderlichen in vier grosse Gruppen vertheilen. Diese 

 Gruppen werden folgendermassen bestimmt: 



• Erste Gruppe, R^O; S^ u. S_ (bez. lim kS^, lim LSJ^O 

 Zweite Gruppe, A' = 0; hm R\ti^O 



Dritte Gruppe, i? < ; wenigstens eine der Functionen S^ , *S_ = 

 Vierte Gruppe, Ä = ; lim 7?)^^ = 



Aus dem vorigen erhellt, dass eine zu irgend einer dieser Gruppen 

 gehörige Gleichung durch Einführung neuer Veränderlichen in eine an- 

 dere Gruppe nicht hinübergehen kann. Wie wir später zeigen werden, sind 

 die zur dritten Gruppe gehörigen Gleichungen und nur diese mittelst 

 der Monge'schen Integrationsmethode integrabel. Durch die Substitutions- 

 methode von Laplace und Legendre kann man bisweilen eine Gleichung 

 der ersten Gruppe derart umbilden, dass eine andere entsteht, die zur 

 dritten Gruppe gehört, und umgekehrt. 



Cap. III. Ueier die Möglichkeil eine pai-tielle Differenlialgleichung 



derarl umzuformen, dass die Coefßcienlen der Endgleicimng 



nur die eine unabhängige Veränderliche enthalten. 



Als eine sehr wichtige Anwendung der vorigen Theorie wollen wir 

 jetzt die Bedingungen suchen, unter welchen unsere Differentialgleichung 



(1) F.Dlz + F,D%z + F,D\,z + F.D^z + F,D,z + F,z = , 



durch Austausch der Veränderlichen mittelst der Substitutionen 



z = (p{x,y) .t , u = (f^f.i/) , V = (f2Çr,7/) 



derart umgeformt werde, dass die Coefificienten der Endgleichung nur 

 die eine unabhängige Veränderliche («) enthalten. • 



Dabei setzen wir anfänglich i? 5? , -F„ = 1 voraus. 



