Partielle Differentialgleichungen. 15 



Wäre die Aufgabe gewesen, nur die Coefficienten der Differential- 

 quotienten zweiter Ordnung von der einen unabhängigen Veränderlichen 

 zu befreien, so wäre diese Aufgabe am einfachsten dadurch gelöst wor- 

 den, dass man als neue Veränderlichen g und rj erwählt hätte unter den 

 Bedingungen 



(2) As + ^^ D,i = , D,ri + ^ D,,; = . 



Durch Einführung dieser Veränderlichen geht nämlich die gege- 

 bene Gleichung über in 



(3) Dy + ^,Df + *P, A;- + ^.~ = . 



Wir nehmen jetzt für einen Augenblick an, dass die gegebene Glei- 

 chung durch die genannten Substitutionen auf die Form (3) gebracht 

 worden sei, und stellen uns die Aufgabe, die allgemeine Form der- 

 jenigen Substitutionen 



" = K^, >ù 5 *-■ = ?'(?. »?) 



zu bestimmen, durch welche man fortwährend Gleichungen erhalte, in 

 denen die Coefficienten der Difterentialquotienten zweiter Ordnung nur 

 Functionen von ii seien. 



Durch Einführung von u und v in die Gleichung (3) erhält man 

 allgemein 



(4) niz . [B^u . D,ii] + Bl:[D^u . B.v + D^v . D^u-] 



-f D'iz . D^v . B,jV + U.S. w. = . 



Damit nach Division der Gleichung durch den ersten nicht verschwinden- 

 den Coefficienten diejenigen der Differentialquotienten zweiter Ordnung 

 von V unabhängig seien, wird erforderlich, dass entweder 



Z>jM. = , B,jv = F(ii)D^u 

 oder 



Drju = , D^v = F(^ii)D^u 

 oder endlich 



D^v = F(ii)D^u , D^v = F,{n)D,,u 



d. h. es müssen die neuen Veränderlichen ?<, v durch eines der drei 

 folgenden Systeme bestimmt werden 



