Partielle Differentialgleichungen. 17 



Hieraus zieht man immittelbar folgendes Theorem: 



Die nothwendige und hinreichende Bedingung, unter welcher die 

 gegebene Gleichung durch Einführung der neuen Veränderlichen u und v 

 und durch Austausch der abhängigen z mittelst einer Substitution der 

 Form z = (f(x, y)t, derart umgebildet werden kann, dass die Coeflficien- 

 ten der Endgleichung sämmtlich von v unabhängig werden, ist, dass 

 gleichzeitig 2^ und 2_ — bez. lim k2_^ und lim k2_ — nach Elimina- 

 tion von X, y, 5, r; sich als Functionen der einzigen Veränderlichen ii 

 darstellen lassen. Diess aber trifft nur ein, wenn sowohl S als 5_ 

 folgende Form haben 



(8) R-'<J>r[m + ^(0]/"(?)^'('/)A?A»i , 



wo (pj auch einen constanten Werth haben oder nur als Function der 

 einen der Veränderlichen |, r^ erscheinen mag, wobei jedoch zu bemer- 

 ken ist, dass in diesem letzten Falle nothwendig aS '■ S_ = F(^i) oder F{rî) 

 sein muss. 



Aus dieser Bedingung folgt, dass jedesmal, wenn die Aufgabe 

 möglich ist und wenn nicht der Quotient S : S_ einen constanten Werth 

 hat, die neuen Veränderlichen durch die Gleichungen 



oder, wenn 



S^ : S_ --= ç>^{tj) 

 ist, durch das System 



u 



bestimmt sind. Dabei sind F, (t , f willkürliche Fuuctionsformen, wo- 

 gegen (f eine von dem Quotienten S : *S_ völlig bestimmte ist, die fol- 



gendermassen gefunden werden kann. 



Aus 



5 



+ 



<»i (./"(?) + <f(.V)) 



folgt 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. 



