Partielle Differentlvlgleichungen. 29 



Es ist demnach 



11 lid 



(12) v^ = 2S^-5_ + y/(/(?) + y(r/)) ßy'(|)y '('/) A? • i),ri . 



Damit :i^^ = werde, muss nothweudig 5_ von derselben Form 

 wie S^ sein, obgleich diese Bedingung nicht hinreichend ist. Sind 5 

 und S_ von derselben Form (11), so werden auch 2 und 2' diese Form 

 annehmen. Bezeichnen 2'^ , 2'_ die beiden 5-functionen derjenigen Glei- 

 chung, welche durch eine nochmahge Wiederholung des Processes ent- 

 steht, so erhalten auch diese Functionen die genannte Form u. s. w. 



üass die Laplace-Legendre'sche Substitutionsmethode auch in an- 

 deren Fällen anwendbar sei, daran ist nicht zu zweifeln, es ist aber 

 ebenso sicher, dass sie in solchen Fällen im Allgemeinen sehr unbe- 

 (|uem vorkommt. 



Ist /? = , wird für die Anwendbarkeit der Methode erforderlich, 

 dass 



lim RyJS = , 



wie aus den Gleichungen (6) unmittelbar erhellt. 



Ist diese Bedingung erfüllt, fällt die vierte dieser Gleichungen 

 weg, und wenn N und n durch die Formeln 



(13) N: + ^ N; + (i^,-.V).V = F, , y +n = F, 



bestimmt werden, verschwindet die rechte Seite der Gleichung (7), 

 welche dadurch integrabel wird. Die Bestimmung von ^ ist aber ebenso 

 schwierig wie die Integration der ursprünglichen Gleichung. "Wie es 

 leicht zu zeigen ist, hängt die Integration der ersten der Gleichungen 

 (13) von der Integration einer gewissen ordinären und linearen Diffe- 

 rentialgleichung 'zweiter Ordnung mit einer einzigen unabhängigen Ver- 

 änderlichen al). Setzen wir nämlich der Einfachheit wegen i^, = voraus, 



und bezeichnen wir - F^—N' durch Z), log^j, lässt sich die genannte Glei- 



Ci 



chung, wie bekannt, auf die Form 



