Partielle Differentialgleichungen. 33 



Cap. V. lieber die Integrationsmethode von Monge. 



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lu ihrer Anwendung auf die lineare partielle DifFerentialgleichung 



zweiter Ordnung zeigt sich die Monge'sche Integrationsmethode weit 

 weniger generell als die vorige, wenn sie auch jene Methode darin über- 

 trifft, dass sie sich ebensogut auf die nichtlinearen Gleichungen als auf 

 die linearen anwenden lässt. Wie die folgende Anah'sis zeigen wird, 

 beschränkt sich nämlich die Anwendbarkeit der Monge'schen Methode auf 

 die einzelnen Fälle S oder 5_ = 0. 

 Es sei 



( 1 ) r+F,s + F,t^t\i> + F, <i + F,z = 



die gegebene Gleichung, wo 



;■ = 7)!c , . = D'^:,z ,t = mz,p = D^z,q = D„z. 



Bekanntlich setzt die Monge'sche Methode die Existenz einer oder 

 zweier Differentialgleichungen der Form 



(2) (f{x,y ,z, f , q) = F{Hi{x ,y ,z ,p ,q)) 



voraus, aus welchen man durch partielle Ableitungen und durch Elimi- 

 nation der willkürlichen Functionsform F die gegebene Gleichung bil- 

 den kann. 



Wird die folgende Bezeichnung eingeführt 



(x. , A) = D,(fD}ßi — D)<fD^iP , 



so erhält man aus der Gl. (2) durch partielle Ableitungen und durch 

 Elimination von F folgende partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung 



(3) {p , q)[rt-.s'] + {(p , y/) + ,j(p , z))r + [{q , y) + q(q , z) + (.r , p) 



+ /<-' , p)}' + [(.'■ , '/) + 1<^ ^ '/)]' + (- , î/)p + C-i' . =)q + C* , y) = . 



Aus den identischen Gleichungen 



A* • (^* , A) + B,qi .(f^,K) + B^qs . (A , ;«.) = , (;6 , /) = - (A , ;c) 

 ergiebt sich 



Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups, Ser. III. 5 



