Partielle Differentialgleichungen. 39 



ZWEITE ABTHEILU^G. ÜEBER EITsIGE OPERATlOîiSSYMBOLE. 



Wie in der vorigen Abtheilung betrachten wir D oder D,j als 

 Zeichen der Ableitung und folglich D'" als Zeichen einer m-maligen 

 Wiederholung dieser Operation. 



Durch i)~' wird die umgekehrte Operation zu D, d. h. diejenige 

 Operation angedeutet, durch welche das erste Integrale einer gegebenen 

 Function erhalten wird. Weil eine Function unendlich viele Integrale 

 erster Ordnung hat, deren jedes einein bestimmten Werth der willkür- 

 lichen Integrationsconstanten entspricht, so ist folglich D~' als ein un- 

 endlich vieldeutiges Operationssymbol zu betrachten. Diess geschieht, 

 wenn wir die Gleichung 



J «,, J i'n 



als Detinition des Symbols i)~' benutzen. In dieser Gleichung ist näm- 

 lich die willkürliche Integrationsconstante durch die ebenfalls willkürliche 

 untere Integrationsgrenze y^ ersetzt. 



Die 7?i-malige Wiederholung der Operation Z)~' wird durch Z)~"' 

 bezeichnet, wobei genau zu beachten ist, dass die bei einer jeden der 

 durch Z)""' angedeuteten Operationen einzuführende untere Grenze y^ 

 immer denselben Werth bekomme, denn sonst würde die Identität des 

 Symbols D~^ aufgegeben. 



Aus diesen Definitionen folgt 



l:o) D-"'D-"f{y) = D^D-jly) = D-'"-'f{y) 



und 



2:o) D-D"f{y) = D"D"'/(y) = X»'" + "f(y) , 



aus welchen Sätzen die Anwendbarkeit der Symbole D'" , D~'" in der 

 Operationsrechnung unmittelbar erhellt. 



Man kann das Symbol D""' auch durch die Gleichung 



(1) D-yiy) = ^ f (y— -) '-vi^yi^ 



definiren, und dass diese Definition mit der vorigen zusammenfällt, ist 



