40 Ernst Pfannenstiel, 



nicht schwer einzusehen. Durch theilweise Integration ergiebt sich 

 nämlich für ?/i > 1 



1 1 !' rz 1 ril m—'2 fz 



oder einfacher 

 folglich auch 



1 ,';/ m-3 rz Pz ny Pz f'z 



= fïè-^) ^^-'^ 'T'j ^^'' = •••• = / ■ • • ■ -^'^-'^ ^''^"' 



d. h. 



nach der ersten Definition. 



Wird in der Formel (1) m gegen eine beliebige positive Grösse 

 fjt, vertauscht, erhält man 



(2) D-^\fly) = J- / \y-^-^f{z)dz , 



welche Formel als Definition eines Difterentialquotienteu von gebroche- 

 ner negativer Ordnung dienen kann. Diese Definition ist, meines Wis- 

 sens, zuerst von Professor Holmgren in seiner Abhandlung über die 

 Differentialrechnung mit beliebigem Index gegeben. AVie in jener Ab- 

 handlung gezeigt wird, folgt aus der genannten Definition 



(3) n-'D-"f(y) = z)-"/)-7-(y) = n-'^-'fO/) . 



Dass das allgemeine Symbol Z)"'' zur Aufnahme in die Opera- 

 tionsrechnung geeignet ist, geht unmittelbar aus den Formeln (3) hervor. 

 Anders verhält es sich mit dem Symbol D'^. Nach dem nothwendigen 

 Zusammenhang, welcher zwischen den beiden Symbolen D" und D~^ 



