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stattfinden muss, ist durch die Definition von D~^ auch die Bedeutung- 

 von D" gegeben. Die durch i)" zu bezeichnende Operation muss näm- 

 licli die umgekehrte der Operation D~'' sein, woraus die Gleichung 



i)"i)-7-(y/)=/'0/) 



folgt. Dann wird aber, wenn ;/ eine ganze Zahl bezeichnet, 



oder, wenn D'"f(y) durch ^(//) bezeichnet wird, 



durch welche Formel das allgemeine Symbol i)'' von Prof. Holmgren 

 definirt wird. Aus dieser Definition folgt, wie man in der angeführten 

 Abhandlung findet, dass man nur unter c/eirissen Bedingungen im Betreff 

 der Function (/(y) 



Dny<f{,,) = B'jr^(g) = />» + v(y) 



hat — es muss nämlich die untere Integrationsgrenze zu D^^" ein ge- 

 meinsamer Nullpunkt der Function y(?/) und ihrer Differentialquotienteu 

 bis auf eine gewisse Ordnung sein, deren Zahl durch die Grösse der 

 Summe /i -\- v bestimmt wird. Dieser Beschränkung zufolge zeigt sich 

 das Symbol 7>" nicht gut geeignet, in die Operationsrechnung ein- 

 e'efnhrt zu werden. 



{D -^ L) ist das Zeichen derjenigen Operation, welche auf /(y) 

 bewerkstelligt das Resultat /'(j/) -j- Kfiv) gie^t. Die wi-malige Wieder- 

 holung derselben Operation wird durch (D -}-/■)'" bezeichnet. 



Unmittelbar erhellt die Gültigkeit der Entwickelung 



{D + k)"' = D" + wD—'k + '-^L^ii^Zll) ])'"-■' k' + . . . . ■ 



Damit übereinstimmend definiren wir das Symbol (Z) -\- k)^'' durch die 

 Gleichung 



(D + k)-^' = 7)-''-^ />-""'/ + f^'^'^+-l D-f-'k' 



Aus dieser Definition folgt dann 



Nov.i Acta Kcg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. R 



