Partielle Differentialgleichungen. 53 



F.^^ i^-, (J) und qi stetig und endlich sind, die drei ersten zwischen u^ 

 und u und *P zwischen und cx>. Nehmen wir ferner an, dass F^ : F^' 

 zwischen n^ und u beständig negativ ist, so ist es erlaubt, das Integrale (3) 

 nuter dem Integrationszeicheu zu differenziren. Wollen wir aber dieselbe 

 Operation mit dem Integrale (4) anstellen, ist es hingegen nothwendig, 

 dass der Quotient F^ : F^' zwischen den angeführten Grenzen beständig 

 positiv bleibt. Die Prüfung, welche keine Schwierigkeiten darbietet und 

 desshalb hier weggelassen werden kann, zeigt in der That, dass unter 

 den gemachten Voraussetzungen das eine oder andere Integrale nach 

 der Beschaffenheit des Quotienten F. . F/ die gegebene Diflerentialglei- 

 chung (1) befriedigt. Im Falle, wo der Quotient F^ : F^' einen constan- 

 ten Werth k annimmt, ist es möglich, einen sowohl einfacheren als voll- 

 ständigeren Ausdruck der beiden Integrale zu erhalten. 

 Für positives k ergiebt sich nämlich 



r't'^i'ji 



d. h. 



C= e~f^>F(v) = (i) + F,) 'F^v) 



^, = Ç^J\v-trV'-'Fm, 



und für nee:atives k: 



l^u n ^> (u)du 



1= e-'Jf.M-m)-^'^"-''g,(tyit 



oder 



C= r[F,{rc)-F,(t)Y'e-'''-'<p(t^dt. 



Um in den beiden Fällen noch ein Integrale zu bekommen, nehmen 

 wir zuerst k positiv an. 



Durch die Substitution 



geht die Gleichung (1) über in 



(5) DU + u, D.X +H=0 , k=F,:F,\ 



