62 Ernst Pfannenstiel, 



nicht die Frage sein. Wir können desshalb unsere Aufgabe noch 

 mehr beschränken indem wir unter den integrablen ordinären Gleichun- 

 gen nur eine oder andere Classe von grösserer Bedeutung auswählen, 

 deren Theorie wir zum Grunde legen wollen bei der Integration der par- 

 tiellen Gleichungen von ähnlicher Form. 



Unter den ordinären und linearen Differentialgleichungen zweiter 

 Ordnung ist besonders eine hervorzuheben, nämlich die Gleichung 



(a, + b^x 4- c,x^)Dlz + (»1 -f- ijj;)Z),c -f a^j = , 



für welche wir wegen der Untersuchungen von Holmgren, Spitzer u. a. 

 eine vollständige Integrationsmethode kennen. Die Gleichung ist durch 

 die Formel 



^ ax^ -\. lex -\-y 



(«a -\-h^x -\- t\xy 



charakterisirt. 



Die Methode, nach welcher Professor Holmgren diese Gleichung 

 integrirt, wird durch folgendes Theorem begründet. 



Wenn in der Gleichung 



yj und (f., ganze rationale Functionen von x, jene höchstens vom zwei- 

 ten, diese höchstens vom ersten Grade sind und (P^ eine Constante be- 

 zeichnet, so ist 



. = i):y{x) =-J^- jy-tf-y{t)dt 



». 



ein Integrale, vorausgesetzt, dass )w die Gleichung 

 befriedigt und dass /(<), Xg durch die Gleichungen 



DivÅom] + MO + (/^--2)y/(0]./'(o = , 9i(-^o)M) = 



bestimmt sind. Ausserdem muss jw positiv oder imaginär von der Form 

 a-\-bi sein, wo a>o, und /(i), f'{t), f"{t) zwischen x^ und x stetig und 

 endlich bleiben. 



