Partielle Differentialgleichungen, 63 



Um dieses Theorem verallgemeinern und auf die partiellen Glei- 

 chungen anwendbar machen zu können, sind wir genöthigt, zuerst ein 

 Paar Hülfsformeln zu deduciren. 



Zunächst gilt offenbar die Identität 



{x-ty'iPiy-jnlogix-t) , t)dt = ^-^"::^ e'" / e '" qj^y-mloy^x-t) , t)dy 



\ V_a r a r —^— 



em I Qc — t) dt i e '« iD,'(j/-%ilog{x — t) , €)dy 



m J J 



unter der Annahme, dass o» und (P/ stetig und endlich bleiben, d»/ be- 

 deutet hier den Differentialquotienten der Function cP im Betreff von t 

 insofern genommen, als diese Quantität zum Ausdrucke _y — mlog(x—t) 

 nicht gehört. Ist a positiv und x^<Cx—d <i'V oder x^'^x—â^x^ ergiebt 

 sich hieraus 



(x-ty 0(y—m loq{x—t) ^t)dt== — e~' j e ~'"' (t>{y—mlogô , x—6)dy 



v — ;_o; gm i ß "'<j)(^i/—mlog{x—x^,x^dy e •" I {x—t) dt\(p,'e '" dy. 



Wird diese Gleichung im Betreff von x differenzirt, so erhält man 

 D^i (x—t)"" . dt = — e'" le '» (I)/{y—mloqô , x—ô)dy 



J I,. 711 J 



-i L2l e"'fe m (pfy — mlog(x—x^ , x^dy e '" / (x—tYdt \(t),'e mdy 



m J " m I J 



D, 



X — 5 



•.a — 1 



+ (x-tj~'(t>;dt . 



Weil das erste und dritte Glied gegen einander verschwinden, 

 wird hieraus 



(10) DJ{x—ty (Ddt= \ (x—t)" 0,'dt -^ {x—xj' (D(y~inlog(x~Xo) ^ Xo) . 

 Durch nochmalige Ableitung ergiebt sich 



