64 Ernst Pfannenstiel, 



(11) D\ j (x—t)" (P . Jt = (a— l)(.r— ajß)" 0{i/—mloff{x—Xo) , -^'o) 



— m{x—a-oy~D,j<t>{i/—mlog{x—a'o) , a'o) 



_)_ / {x~ty~' (I>,"dt + (.(■— .i\,)"~ 0j{i/—mlog{x—Xo) , ■^o) • 



Mittelst dieser Formeln werden wir folgendes Theorem beweisen. 

 Wenn in der Differentialgleichung 



(12) 0oI)k+i<t>,D + 0,)I)„CJ^(0,D' + 0,D + <pJC = 



die Coefficienten a>o, (f)j, ^, ... ganze rationale Functionen von u sind 

 und zwar (Pq höchstens vom zweiten, fl>;, ^3 höchstens vom ersten Grade, 

 und <I>2, (Vij <Vi constante Quantitäten bezeichnen; wenn ferner 



(a—l—u,D)(a—2-\J.D)^ „ , . -. riN/.-n , , '\ , 



so ist 



oder 



+ {W,D' + (P,Z) + (DJ = , a > , 



(ti—t)''~''F{v—iJ.log(ii—t) , )')J; 



ein Integrale, vorausgesetzt, dass F{v ^t)^ ?/„ durch die Gleichungen 



D^<l>,{t)F(v , 0] + [(a-2_fxD)<l>o,', + l^.D + rßJF(w ,0 = 0, 



(Do{u„)F{v—iJ.loc/{v—Uo) , Mo) = 



bestimmt sind, und dass F, die stetig und endlich für alle endliche 

 Werthe der Veränderlichen u sein soll, die Bedingungen 



hm a''F(v—/^lngô , n~ô) = O , lim ô''F,Xv-M'JogS , u—d) = O 



d = o 3 = 



lim ä'-FJ^v—iJ. log å , u—o) = O 



5=0 



erfüllt. 



