2 FRITZ CARLSON, 
Le cas qui précède nous amène à poser les questions: 
1° Peut-on obtenir une solution sous forme d'une formule de 
Newton étendue à l'infini 
(4) W(x) = A, + Ai(x — e) + As(x — o) (x — e) +...? 
Dans des eas trés généraux, on peut trouver une infinité de fonctions 
G(x). Alors, supposé que W(x) existe, : 
? peut-on trouver une propriété caractérisant W(x) comme dans 
le cas de suites finies? 
La série (4) est une série de facultés du second type. D'abord il 
s'agit évidemment de rechercher la convergence ou la divergence de 
cette série, M. BENpIxsON! qui a pose la question 1° a déterminé le 
domaine de convergence pour certaines suites «,. C’est notamment 
dans les derniers temps qu'on a étudié ces séries”. Ici nous allons 
nous restreindre au cas ou c, Ad, @,... Sont les nombres naturels. 
Alors la série prend la forme 
(5) We)=a+7e@—N+n@—)@—H+... 
F eye, IH: 
La quantite 
(2 INNE = 2) Gers (ER) ( — ) 
n! n 
étant le coefficient de =” dans le développement de (1 + 2)”, cette 
série s'appelle aussi une série de coefficients binomiaux. Dans son mé- 
| Sur une extension à l'infini de la formule d'interpolation de Gauss, Acta Mathe- 
matica, t. 9 (1886/87), p. 1. Voir aussi Pincuerte, Sopra un problema d’interpolazione, 
Rend. del Circolo Matimatico di Palermo, t. XIV (1900), p. 142. 
* Pour le cas lim | | = 0 voir Lannau, Über die Grundlagen der Theorie der 
Fakultätenreihen, Sitzungsberichte der K. B. Akad. der Wiss. zu München (math.-phys Klasse) 
1906, p. 197; Scuner, Über irreguläre Potenzreihen und Dirichlet’schen Reihen, 1, Thèse, 
Berlin 1908, p. 74. 
