SUR LES SÉRIES DE COEFFICIENTS BINOMIAUX. 3 
moire cité, M. BENpixsoN a démontré l'existenee d'un nombre réel A 
avec les propriétés suivantes: La série (7) converge pour x = z,, si 
R(x) > 4, elle diverge, si R(x,) <A. Dans une aire finie ME. 
toute comprise à l'intérieur du domaine de convergence, la série con- 
verge uniformément; elle y représente done une fonction holomorphe 
de x. Le domaine de convergence absolue est aussi un demi-plan : 
la série 
converge pour R(x) > 4, diverge pour R(x) < 4. Par conséquent, si 
À < À, il existe une bande 
RE) a 
où la série converge, mais non pas absolument La largeur de cette 
bande est 
2 2-34 
IA 
mA 
Cela est une consequence d'un théorème de M. Lanpau!, d'apres lequel 
la série (5) et la série de Dirichlet 
er C, il 
(6) v(z) = Ey © 
convergent et convergent absolument aux mêmes points (=-1,2,3,...) 
Pour les séries v(x), l'abscisse de convergence A a été donnée par M 
M. Canen et PINCHERLE?: 
5 À = lim SUD s PIE (CAHEN) 
neo log n 
1 loc. cit., p. 194. 
? Canen, Sur la fonction E(s) de Riemann et sur des fonctions analogues, Annales 
de l'École Normale, llle série, t. II (1894), p. 85. 
Pincuerte, Aleune spigolature nel campo delle funzioni determinanti, Atti del IV con- 
gresso internazionale dei matematici, (Roma 1909), Vol. Il, p. 45 (ou Quelques remarques sur 
les fonctions déterminantes, Acta Mathematica t. 36 (1913) p. 270). 
