SUR LES SERIES DE COEFFICIENTS BINOMIAUX, 5 
B étant un nombre fixe > à. Alors k,(y) X E pour — 5 <gs< 25 
tandis que k,(g) atteint! dans cet intervalle la valeur x, si //(z) n'est pas 
nulle. Nous avons là la généralisation de la propricté du polynome 
p(x): parmi toutes les fonctions G(x) étant holomorphes dans un demi- 
plan R(x) > £ et prenant les valeurs données G(n) = a, (n p), la 
fonction W(x) est celle de la plus petite croissance. 
Dans ce qui précède nous avons considéré la série de coeffici- 
ents binomiaux comme une formule d'interpolation. Mais on peut aussi 
la considérer comme le développement d'une fonction donnée W(x). 
C'est M. FnosENIUS? qui a le premier traité cette question. Pour arri- 
ver à ce développement de la fonction W(x), on pourrait partir de 
la formule de Newton avec le reste de Caucuy® 
el ne TES 
Wa) = a, + ty 441 = 8 > ue 
MER le 
Me ) (x s LE N A SCH te SES D (0) 
(z— 1)6—2 DEN een 
i ay = —— — (n = el le 
lei £, designe une quantité intermédiaire entre 1, x et n et l'on suppose 
la fonction réelle W(x) et toutes ses dérivées continues pour x 21. La 
condition nécessaire et suffisante pour que W(x) possede un dévelop- 
pement (5) qui converge pour N(x) > 4 est done 
5 Ease e M Ezio c . (x ==) HI(E) — 
lim UIT weg) = 0 
ou bien 
lim n *We**(£) = 0 
n-oo 
! On sait que &,(q) est une fonction continue de g; voir PHRAGMÉN et LINDELÖF, Sur 
une extension d'un théorème classique de V Analyse etc., Acta Mathematica, t. 31 (1907) p. 392. 
? Über die Entwicklung analytischer Functionen in Reihen die nach gegebenen Func- 
tionen. fortschreiten, Journal für Mathematik t. 73 (1871), p 
> C. R. Paris, t. 11 (1840), p. 787 ou Mankorr, Differenzenrechnung (Leipz. 1896), p. 15. 
