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pour z — à-- 0, 0 > 0. Cette condition sera remplie en particulier si 
(11) | WV? (ar). ee (iss evo 
pour n=1, 2, 3,... etl «vx «nm (on suppose 42 1). Mais il est 
facile de voir que cette condition (11) éxige, entre autres, que W(x) 
soit une fonction entiere. 
Les conditions nécessaires et suffisantes que doit remplir la fonc- 
tion W(x) ont été données par M. PincHERLE! sous la forme suivante. 
Il faut et il suffit que W(x) puisse s'écrire 
1 p 
W(x) = 25i J yuu du , 
C 
v (wu) désignant une fonction analytique de u holomorphe pour | u — 171 
et d'ordre fini sur le cercle | v — 1| = 1. Le contour fini et fermé C 
est situé dans le domaine Ju — 1| 1 et passe par le point w = 0; 
il est parcouru en sens négatif par rapport au domaine |u— 1|<1. 
Iei nous chercherons des conditions d'un caractere tout différent: 
peut-on trouver des propriétés analytiques simples de la fonction W(z) 
qui déterminent la valeur de l’abscisse 4 et, en particulier, si cette 
valeur est < + o? C’est le problème de convergence des séries W(x) ; 
nous en donnerons la solution approximative suivante: 
Soit W(x) holomorphe pour R(x) 2 p. Si 
WE (B meo) eene 7 7)" const: 
I(y) = q sin 9 + cos ¢ log 2 cos 9 
TU Ld = x , Fr) , 
pour — 5 € gp = 5, W(x) possède un développement (5) dont l'ab- 
scisse de convergence est égale ou inférieure au plus grand des nom- 
bres 6 et-1 a. 
Ce developpement (5) de la fonction W(x), est — il unique? 
M. Frobenius* a remarqué que non; il existe des développements de 
' Sur les fonctions déterminantes, Annales de l’École Normale, ser. III, t. 22 (1905), 
? loc. cit. 
