SUR LES SÉRIES DE COEFFICIENTS BINOMIAUX. 7 
zéro. Mais on peut indiquer tous les développements de W(x) et limiter 
leur nombre à l'aide de la valeur de 4. 
Nous avons dit que les séries W(x) et #(x) convergent aux 
memes points. Cette analogie va plus loin. Pour prolonger les séries 
P(x), M. H. Borr! y a appliqué la sommation de Crsaro et il a mon- 
iré que les séries W(x) et ¥(x) sont sommables par cette méthode 
dans les mémes points?. Par consequent, pour prolonger les séries 
W(x) au delà de la droite R(x) = 2, on peut utiliser la méthode de Ce- 
saro. On aura une autre methode de prolongement en transformant 
la série (5) en une série de coefficients binomiaux avec la variable 
z-ry 
2) 
W(z)=e+ a (x + y — 1) + = {x +y—1)(x + y —2) +.. 
€541 
An! 
i (ry —1)(z-y—2)...(x y —n)-.. 
M. NIELSEN” a fait usage de cette transformation pour une classe tres 
particulière de séries W(x). Nous allons montrer qu'elle nous permet 
de poursuivre le prolongement analytique de la série W(x) aussi loin 
du côté gauche que la fonction W(x) soit holomorphe et qu'en méme 
temps la quantité a soit finie. 
1 Sur la série de Dirichlet, C. R. Paris, t. 148 (1909); Bidrag til de Dirichlet’ske 
Rekkers Theori, Thèse, Copenhague 1910, p. 43. 
2 Uber die Summabilität Dirichlet’scher Reihen, Nachrichten der K. Gesellsch. der 
Wiss. eu Güttingen (math.-phys. Klasse) 1909, p. 247. 
$ Handbuch der Théorie der Gammafunktion (Leipzig 1906), p. 125. M. NörLunn, 
Sur les séries de facultés, Acta Mathematica, tV. 37 (1914), p. . se sert de cette méthode 
de prolongement pour les séries de facultés du premier type 
2 Cyan! 
(e Sy —— 
T (x + 1) (@ + 2) E ST n n) 
