SUR LES SÉRIES DE COEFFICIENTS BINOMIAUX. 17 
ee eee 
m= me 
mé M—1 \in—1+nr—m+tn—1\k—(mt+k—r) 
EU Si m — 1 X zT ) — = 
A Ey 
= n VE {-1 = n VA 
dou l'on tire. la méme valeur de %,, que donne la formule (30). 
D'après (28) et (29) les quantités arbitraires sont c(1), ¢(2),... c(r); 
tous les coefficients c,(vr), 1 Ex - r, sont déterminés en fonctions de 
ces quantités et des coefficients c,. Inversement, si les coefficients 
Gv), 1<y<7r, sont déterminés m (28) et (29) et si toujours le 
premier coefficient e, dans un développement 
W(x) — € -r-e(z--»v-—1)-e(x--v-—1)(x--v 
Jesse 
est égal à c(»), la série résultante sera indépendante de la manière 
dont on a effectué la transformation. Montrons en effet que les trans- 
formations successives z|x +1, x|xd-v—1 ou x|x+r—1,x|x+1 
donnent la méme série que la transformation æ|x +7». Désignons 
par C,(r) les coefficients obtenus par les transformations x x +1, 
ir i-r» D'après (27) et (29) on a 
Cl) > Ca Tue. Cy Zu Cn—2 eren gis (— Nee: au (ar; 1}"c;(1) ; 
C= 6t) + NN 
CE 
FOIS TS e(t + 1) = 6 — (e +0 5 Jon 
$y (ET et il, add = eu). 
n = 
On aura le même résultat des transformations «| 2 vr —v, , x 
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 4, N. 3. Impr. ??/; 1915. 3 
