18 FRITZ CARLSON, 
Les coefficients c(1), ¢,(2), (3) ,...c(r) ne sont pas déterminés: 
dans (29) ils peuvent étre considérés comme arbitraires. Cela dépend 
en réalité de l'existence des développements convergents de zéro. En effet, 
la série (22) peut se mettre sous la forme 
W(x) E + B.) err—1)@ a - 2)...(x+r—n) a 
n! 
les a, étant indépendants des quantités c,(1) , ¢(2),...a(7). Ona 
Sen 
Sir (tr 2... (x+r—n) 
n20 ^" 
ccu qaad P eer Der) .. (rd -r—n) 
EN «(XC 1s — x) n! 
k=1 n=0 
= 0 
? 
comme nous allons le montrer. Développons suivant les puissances 
positives de z la fonction 
(ctae UN p eee eee Co) 
e dq 3 (ia) =e 
a (r k)! ooc 
Gr Er 2) cet ae 
is n! E (. - 5 9 it == ehe) 
Ce développement converge absolument pour z — — 1, si R(x) >1—k 
et sa valeur est nulle. 
Considérons maintenant la série double (20) avec e — 7. Sup- 
posons d'abord que la série (23) converge absolument et posons 
(31) Sey |Site ie. 
9 Eu ata crt 
Nous supposons æ dans le domaine 
ha |S Ey =F RG) de 
) et E désignant des nombres positifs. Alors 
| (x--r—1)(x--r—2) .. . (at+r—m)| (rA-n—m—4 
m! my [A N—M 
) <(m+ iy(n—m--1y 6, 
