SUR LES SÉRIES DE COEFFICIENTS BINOMIAUX. 19 
C étant fini et indépendant de n et de m. Posant h=5,—5— sui- 
vant que n soit pair ou impair, on aura 
(ns cds nr CNRS ER 
EE) NE) (nr el RUE an), 
mr) ro) cn h— 2 etc 
+ (n+ 1)! « (h + 3) (n — h — 1) 
et l'on voit d'ailleurs que ces limites supérieures sont, à un facteur 
constant près, les plus petites qu'on puisse obtenir. Nous pouvons 
done écrire 
2 (a+r—1)(a+r—2)...(x+r—m)| (et C, S 
N I m! fe Iu n—nm in ar 
m=0 
NS |, (tr tatr—2).. (xtv m) r-cn—m—1y Cw ae 
- | N—M «y ala) 
220, n20 n=0 
C, étant indépendant de n et de d. La série double (20) converge 
done absolument pour 3t(z) 2 | — r, si la série (31) converge et cette 
condition est méme nécessaire, Alors, d’après un théorème connu, on 
peut la transformer en la série simple (22). Celle-ci converge aussi 
absolument pour (x) > 1 — r et ses coefficients sont donnés par (29). 
Si la série (31) diverge, nous considérons le développement 
(32) Was) = y ant) (¢+r—1)@+r—2)...@+r—n) 
n=0 
où les coefficients c,(r) sont donnés par (29) ou par (26). Nous savons 
qu'elles satisfont au système (24). Prenons par exemple (29); il est 
manifeste qu'on peut trouver À et B finis et tels que 
