SUR LES SÉRIES DE COEFFICIENTS BINOMIAUX. 21 
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"n (e...) x I N 23 
qui converge absolument pour R(x) > r, R(x) >r+x+1. Done, 
d’après (24) 
W, (2) = W(x) . 
Toute série (5) avec l'abscisse de convergence à < + o» peut étre 
transformée en une serie (22) dont labscisse de convergence sera aussi 
< +. Les cofficients de la nouvelle série sont donnés par (26) ou par 
(29) où c(l), c(2),... cr) peuvent être considérés comme arbitraires". 
3. Le prolongement analytique par la transformation 
précédente. Il nous reste à rechercher le domaine de convergence 
de la nouvelle série; désignons- en par A(r) l'abscisse de convergence. 
Alors la difference 4(r)— A(r +1) jouit des propriétés suivantes, 7 
étant entier et positif: 
1? elle est comprise entre 0 et 1; 
2° elle est une fonction non croissante de 7. 
On doit done avoir 
är + 1) < ar), ar + i)map)—1 
Ar) — Ar + 1) > A(r + 1) — A(r + 2) 
pour 7— 0, 1, 2,.... Ce sont les mêmes inégalités que vérifient 
les abscisses de sommabilite 4, d'ordre 7 = 0, 1, 2,... d'une série 
de Dirichlet v(r) ou d'une série W(x) comme l'a montré M. H. Bouz?, 
Posons 
1 Si la serie (5) converge pour z = 1 — v, nous prendrons toujours dans le suivant 
la valeur de e,(v) que donne (23) pour x = v. 
? Bidrag etc., p. 101. 
