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n et p désignant des nombres entiers positifs. Si la série — ¢,(r) + car) 
— GI) +... converge, on a s(r)-Fr,(r) = —c(r + 1), ce qui nous 
permet de passer de la relation («' aux relations (£'), (y'), (0"); la 
première peut être obtenue de la méme manière que la relation (14) 
de M. Bohr. On peut done énoneer: 
Etant donnée une serie (5) avec labscisse à < + oo, elle peut étre 
transformée en une série (22) avec Ar) < +. Cette transformation ne 
peut jamais diminuer le domaine de convergence si r > 0; par conséquent, 
elle ne peut jamais laugmenter si r <0. Cette transformation jouit des 
propriélés suivantes (r > 0): 
1? la nouvelle série converge absolument dans le domaine de conver- 
gence de la série donnée: Ar) <A; 
29 la transformation x |x- 1 augmente le domaine de convergence 
d'une bande dont la largeur est au plus égal à 1; 
3° cet accroissement Ar) — A(r + 1) est une fonction non croissante 
de r: élant positive, elle sera donc nulle pour r>r, si elle Sannule pour 
Ri: 
4 Les points sur la droite 3i(z) — 4. Nous avons trouve 
l'inégalité 4(1) € 4. On peut demander si elle ne peut pas être pre- 
cisée d'une telle manière que tout point de convergence de la série 
(5) soit aussi un point de convergence de la série 
6A) ai) 
(34) W(x) = (1) + 11 © IF 9r; 2a — lr 
eh 
xs 2 ee ie 
Nous allons rechercher comment il en est. 
En posant dans (12) 
ae) ul) > 
nous obtenons 
