26 FRITZ CARLSON, 
iende vers une valeur finie et unique. Cette condition nécessaire est 
aussi suffisante, comme il suit de la formule (35). Si R(x,) = 9,2 0, 
nous pouvons remplacer l'expression (36) par n~°s,; si 6) <0, par n”r,. 
Comme montrent (16) et (17), ces deux expressions tendent vers zéro. 
Si 1--0, la série (34) converge en tout point où converge la série (5). 
Il en est évidemment de méme dans le cas & — 0, si la série (5) converge 
pour x = 0. Supposons done 4- 0 et la série c, — c, + 64 —... diver- 
gente. Si lim sup |s,| est égale à o», la série (34) diverge pour 
X — %,3; soit done |5,| borne superieurement. Pour que les deux series 
convergent au point x,- ir, il faut et il suffit qu'on puisse trouver 
c,(1) fini et tel que ; 
Sey ae Cal 1) ete? (Late (2) ) 00am 
« et v étant differents de zéro. d désignant un entier positif, on en 
tire 
| San — Su | = | a | V2(1 
(37) >|a|" 
si d est convenablement choisi. D'autre part, en posant z—0, p=n-+1, 
q-— dn (d S 1) dans (13), on aura une autre expression de Sj, — $,. 
Écrivons 
m! | 
een: 
x Ly m! A 
| (to — 1) (% — 2)... (% m — 1) < m 
pour m > p; si p est suffisamment grand, on a | o,(x)) | <e pour m2 p, 
quelque petit que soit « 2 0. Par suite 
q—1 
occ NEED 
E i 42, eA 
2 
«revo ae 
ce qui est en contradiction avec l'inégalité (87). Si 4 0 et si la série (5) 
diverge pour x = 0, la série (84) diverge en tout point de la droite R(x) — 0, 
où converge la série (5). Sil existe un tel point, on a A(r) = 0. 
