Chapitre II. 
6. Sur l'ordre de M. Hadamard d'une série de Taylor. 
Nous passons maintenant au probléme de convergence des séries W(x). 
La solution que nous allons en donner va reposer sur quelques théo- 
rèmes auxiliaires; nous les présenterons d'abord. 
Posons 
ee etm (EN pens 
et désignons par © l'ordre de M. Hadamard de la fonction 
Fit) 
Pe 
sur le cercle de convergence |t|=1'. Si la série u, — € + 6 — .. . 
converge, on doit choisir c,— c, — c; + € — ... , c'est-à-dire F(—1)- 0. 
Cela étant, labscisse de convergence de la série (5) est égale à 
dyes) 
En effet, 
old) = Xc-tye(a + s) 
n=0 
et, Si €; = €, — Co + € —... converge, 
oo 
NT Mana. 
g(t) = —3 1? ras 
n=0 
Nous chercherons dans ce qui suit a determiner cet ordre 2 de 
la fonction g(t). Pour cela nous nous servirons du rapport entre (2 et 
l'ordre d'infinitude de g(t) exprimé par les théorèmes suivants. 
1 Voir Hapamarp, Essai sur l’étude des fonctions données par leur développement de 
Taylor, Journal de Mathématiques, 4° série, t. VIII (1892); 
Dienes, Lecons sur les singularités des fonctions analytiques (Paris 1913). 
