SUR LES SÉRIES DE COEFFICIENTS BINOMIAUX. 31 
Soit 220 et i=ge®, à X 6 X 2n +8. A tout nombre positif 
e quelque petit qu'il soit correspond un nombre fini A tel que 
(1 — o)2** | q(oc* VA 
pour toute valeur de 8. Reciproquement, si, pour toute valeur positive 
donnée de e, le produit (2' > 0) 
(39) (1 = p)? +: | q (oc) | 
reste au-dessous d'un nombre fixe quel que soit 6, l'ordre 2 est au plus 
égal à 2'—-1. En général ce nombre Q'--1 ne peut pas être rem- 
place par un nombre plus petit. Si 2’ désigne le plus petit nombre, 
pour lequel le produit (39) soit borné supérieurement, il arrive souvent 
que € — 2' pour les séries dont les coefficients sont à croissance ré- 
guliere. Mais, si les coefficients sont à croissance très irrégulière, on 
peut avoir 2= 0'—+11, Pour en donner un exemple, supposons la 
série g(t) absolument convergente pour {= 1; alors Q'— 0. Sans 
changer la convergence absolue on peut remplacer les coefficients 
d'indice n = 4°, k entier > 1, par s 4; alors $2—1—1-- 7". D'ail- 
leurs, les modules des coefficients étant à croissance régulière, le 
nombre f2' peut varier avec les arguments des coefficients. M. Harpy? 
a montré que cette variation du nombre 2’ ne peut jamais surpasser 
1/2; d'autre part, on a construit des séries pour lesquelles la variation 
peut atteindre cette valeur. On peut par exemple choisir le nombre 
réel £ d'une telle manière que 
2 const 
ANI —|W ont fn = 
q 2) — PAE si (= E $ 
LA) = 12 vl —o 
tandis que 
eo 1 : 
Selen. 
t I 1—o 
1 Voir p. e. Boret, Lecons sur les séries à termes positifs (Paris 1902); Dieses, loc. cit. 
? A theorem concerning Taylor's séries, The Quarterly Journal of Mathematics, 
Vol. XLIV (1913) p. 147; Note in addition to a paper on Taylor's series, ibid., Vol. XLV 
(1913), p. 77: 
3 Harpy and LirtLewoon Some problems of Diophantine Approximation, Acta Mathe- 
matica, t. 37, (1914), p. 920. Pour une définition précise de l'ordre d’infinitude, voir Farry, 
Ordre des points singuliers de la série de Taylor, Acta Mathematica, t 36 (1912), p. 68. 
