SUR LES SÉRIES DE COEFFICIENTS BINOMIAUX. 33 
satisfont aux conditions 1? et 2?, Il existe done une infinité de fonc- 
tions G(x). Posons 
ine re) el const 
Alors il existe au plus une fonction G(x) pour laquelle 
A(p) < x. 
Cette fonction G(x) est la plus petite prenant les valeurs G(n) = a,. En 
general il n'existe aucune fonction ayant Ay) < x, car la série de Tay- 
lor ZG(»)x" serait alors régulière dans un angle autour de l'axe néga- 
tif. Pour montrer que cette fonction est unique nous nous appuyerons 
sur le théorème suivant que j'ai donné dans ma thèse sous une forme 
plus générale”. 
Soit dx) une fonction analytique de la variable x = P+ rev avec 
les propriétés suivantes : 
7t TT 
0 NOY’ 2 MUT OE as 
1° elle est holomorphe pour — 5 <p «d 3s 
2? pour tout point x dans ce domaine on a 
ebrietas 
C, et a étant des constantes finies; 
39 | B(B + ir) < TOR : 
C, el k étant finis; 
4° d(nh-- pj) = 0 
MOU RIO m1 2... 6. et h étant finis et 
? ? ? ? 
LUNES AD tee RAI: 
Cette fonction d» s'annule identiquement. 
Démonstration. Nous pouvons évidemment poser f = 0, f, — 0. 
AE t „j—hk 
Soient « et w des nombres positifs dont « < 2- 7, e posons 
1 LinpeLör, Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions (Paris 
1905), p. 109. 
? Sur une classe de séries de Taylor, Upsal 1914, p. 58. 
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 4, N. 3. Impr. */» 1915. 5 
