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e" 
Hx) = P(x) ee 
II a2) sin (7) 
AE : TT Jt 
La fonetion (x) est évidemment holomorphe pour z—reé*, —3Xq <5 . 
On trouve 
| et (eee iC — 
b et C étant finis et C indépendant de w; 
| HG din) | X 6, 
C, étant fini et indépendant de w; 
[HE «e, 
c(r) étant égal à o pour r = o» quelque soit le nombre fixe #. Soit 
M(w) la plus grande des valeurs | H(r)|, r 2 0. D’après un théorème 
connu' on conclut des inégalités précedentes que 
|H()|EM, —: 
M étant le plus grand des nombres M(w) et C,. La valeur M(w) étant 
atteinte sur l'axe positif, il faut avoir M(w) € C,. Par conséquent 
| P(x). 
p KA DID TUR | = le : 
^ ELE ’ 
I '(1-- a2) sin ae 
Prenons x sur l'axe réel, p. e. 1 €x €2. C, étant independant de w, 
nous pouvons faire croître ce nombre et par suite le prendre assez 
grand pour que l'inégalité 
Cnn ccr 
soit réalisée quelque petite que l'on ait pris à l'avance la quantité 
posttiivere, cr Ob i Ob 
Une autre démonstration se trouve dans ma thèse. 
1 LiwpELOF, Sur un théorème de M. Hadamard dans la théorie des fonctions entières, 
Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XXV (1908), p. 229. 
