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De l'inégalite | W(x) | < &*. 7?*'^**? il suit d'abord que cette fonction f(x) 
7 az! : : 
est holomorphe pour 5 neo . Mais de l'inégalité (49) on peut 
tirer un résultat plus précis. D’après un théorème général sur les 
series de Taylor de la forme Æw(n)x' que j'ai démontré dans ma thèse, 
cette inégalité implique que f(x) est holomorphe pour (x) < '/2 et 
d'ordre fini sur la frontière de ce domaine. Cela peut être démontré 
directement ici. En effet, effectuons sur f(x) la transformation d'Euler 
= p. 
drea 
nous obtenons 
t 
tq) = & = Gali a= Onl AP 6 0 0 a CU a 
= EU" 
si a, = c,. Cette transformation remplace le demi-plan R(x) < ‘/2 par 
le cercle |{| <1. F(t) est holomorphe pour |/| < 1 et d'ordre fini sur 
la circonférence si 4 est < +. Soit 2' le plus grand des nombres 
42 et 0; si nous donnons un nombre s > 0, on pourra déterminer A 
de telle maniere que 
[ECL TEE 
pour |/|«1. Mais (pour |£| > !/2) 
ip See 1 — Str 
(50) a ee 
c, et c, étant des constants. Nous en concluons que, l'une des inega- 
lités (|x | > !/4) 
(51) [S 
(!/s — X (zx) < const. pour R(x) < !/2 , 
HOTTE SET 
Jetons pour taal 
étant donnée, on peut en déduire l’autre, Si f(x) vérifie l'inégalité 
(51), nous dirons que f(x) est d'ordre fini sur la frontière du domaine 
! Linverör, Le calcul des résidus etc., p. 109. 
