SUR LES SÉRIES DE COEFFICIENTS BINOMIAUX. 45 
Rx) < 2. Si € +o, la fonction f(x) est régulière dans R(x) « ‘/2 
et d'ordre fini; inversement, si f(x) jouit de ces propriétés, on en 
conclut A< + ©. Donc 
Pour qu'une fonction W(x), régulière pour (x) 2 B, puisse être 
représentée par une série de coefficients binomiaux avec l'abscisse de con- 
vergence < + 0 il faut et il suffit 1° que f(x) = EWi(n)x" soit holomorphe 
pour R(x) < Ve et d'ordre fini sur la fronhère de ce domaine, 2° que 
W(x) soit la plus petite fonction prenant les valeurs W(n). 
Supposons que f(x) soit holomorphe pour R(x) < '/2 et d'ordre 
fini sur la frontiere de ce domaine. Considérons l'intégrale 
1 dw 
W, (x) = os reo witz : 
Le contour S est composé des vecteurs (w = Re”) 
7t 
USES Um x Hsu (o S di <a) 
/ 
IA 
Feunis, par kare, de-circonference A= Ry, —6,$ 9$ 9$.. Il est pars 
couru en tel sens que l'origine w = 0 se trouve à gauche. Ce contour 
peut être déformé; on trouve ainsi en prenant 4, = x 
W(n) = a, pou n>b—a, 
si f(x) vérifie l'inégalité (51), et 
Ur 
|m(ß+re?)| < 4° %e const. (8290), 
en prenant pour S la droite R(w) = !/4. En appliquant à la fonction 
4-*(W(x) — W,(x)) le théorème p. 33, on aura done 
W(x) = W,(a) , 
| j dw 
gn) 
i wit? 
| jé l 
(52) W(x) = In 
Pour qu'une fonction W(x) puisse être développée en une serie de 
coefficients binomiaux avec l'abscisse de convergence <a il faut e£ ıl suffit 
qu’elle puisse se mettre sous la forme (52), f(w) étant régulière pour 
R(w) < !/2 et d'ordre fini sur la frontière de ce domaine. 
