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Ici W(x) est donnée sous forme d'une integrale; celle-ci peut 
étre transformée de différentes manieres. La transformation 
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Un 
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remplace le demi-plan 3t(w) < ‘/2 par le cercle |u— 1|>1 et la droite 
R(w) = !/2 par la circonférence |u —1| = 1. De plus, la fonction 
est d'ordre fini sur la circonférence |u — 1j — 1. On a en effet 
(| 20 | > */4) 
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| w |? 
c, et c, désignant des constantes. Si f(x) est d'ordre fini, il en sera 
de même de w(w), et inversement. Le contour S se change en un 
contour C passant par le point w — 0 et laissant à gauche le point 
«€ — 1. Cela pose, on aura 
(52!) W(x) = > | w(u) du 
Ani) 
Pour qu'une fonction W(x) soit développable en une série de coeffi- 
cients binomiaux il faut et il suffit que W(x) puisse se mettre sous la forme 
(52’), w(u) désignant une fonction holomorphe pour |u—1|>1 et d'ordre 
fini sur la circonférence |u—1|=1. 
C'est le théoreme de M. PINCHERLE que nous avons cite. 
10. Les développements de zéro. Avant d'aborder le pro- 
blème de convergence, il faut examiner le rôle que jouent les déve- 
loppements de zéro. Supposons finie l'abscisse de convergence d'un 
tel développement 
