SUR LES SÉRIES DE COEFFICIENTS BINOMIAUX. 47 
Alors W(n) = 0 pour n suffisamment grand, soit » > p; donc 
fx) = $ C-1y79 
s=0 
les d, étant arbitraires. On aura done la somme des p développements 
distincts 
ac Y een) z= 
(53) ose e pides ee M D ae 
n! 
avec les abseisses s. On peut facilement caractériser la divergence 
sur la droite o — s d'un tel développement; pour x==s, on a 
S—T 
D. —1)(x = nm 
(537) Sees ES le a . (x: n) Ce jd | «(m)) 
D'autre part, pour une série (5) convergente en x = x, (-- 1, 2,...) 
on a 
(167) lim (6,,(x) — 6,(x))=0 , 6 = o, 
n= 0 
pour tout d fixe; on le deduira de (13). 
A une série (5) on peut ajouter des développements (53). Une 
telle addition peut changer la convergence ou la divergence de la série 
(5) ainsi que celle des séries obtenues de celle-ci par la transforma- 
tion z|z--r. Comment doivent être choisis ces développements pour 
que les domaines de convergence des séries envisagées soient aussi 
grands que possible? 
Supposons la série (5) convergente dans un point quelconque 
(-=s) de la droite o — s. Alors, en ajoutant un développement (53), 
on aura une série qui diverge en tout point de cette droite. Cela 
s’ensuit de (16' et de (53' par le procédé utilisé au n°4. Par la 
transformation z|z--1 ce développement (53) se change en deux 
(C étant arbitraire) 
a —1y(")* se 1)... ern), FOS Fer) 
! ! 
n. ii ni 
