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avec les abseisses s et 0. Donc, en ajoutant un développement (53) 
à une série (5), supposée convergente dans un point quelconque (-\-s) 
de la droite o — s, on aura une série qui diverge en tout point de 
cette droite ainsi que les séries obtenues de celle-ci par les transfor- 
mations x|x--r. 
Si la série (5) converge pour x — 0, tous les coefficients c,(1) 
sont déterminés par les c,. En particulier nous avons fixé c(l) par 
(23), en prendre une autre valeur revient à ajouter un développement 
de zéro; alors toute série (22) (r > 0) divergera dans les points o = 0 
(© --0). Si la serie (5) diverge pour x — 0, il reste à déterminer 
c,(1), e'est-à-dire un développement de zéro avec l’abscisse 0 et la 
variable «+1. 
Soit done 4 un entier p 21 et considérons la série 
V C, En ) y s n 
I @-1)@—2)... (en) , Qc ad Sc ird a E 
0 : s=1 
Cherchons 9, de telle maniere que cette série converge dans un point 
quelconque (-- p) de la droite o =p; s'il éxiste une telle valeur de 9, 
— il n'en existe qu'une seule — prenons-la. En tout cas, effectuons 
des transformations successives x|x + 1 définies par (27) j'usqu'à ce 
qu'on aura un entier pour abscisse de convergence. Alors on aura à 
déterminer un nombre d, ou un nombre c,(k) comme nous l'avons fait 
avec d, et ainsi de suite. Si 9, reste indéterminée, l’abscisse finale 
sera > s; si c(k) reste indéterminé, elle sera 2 1 — X. 
Les c, (ou les c,(r)) peuvent être calculés en fonctions des valeurs 
W(n). s étant un entier > à, il est permis de poser æ=s dans 
l'égalité (5) 
mo) ec s dep. 
Plus généralement, si par la transformation x|x--r on peut obtenir 
une série convergente dans un point (-- s) de la droite o — s, s>1—7, 
on à 
str- 
lim W(a) = Seu) C i at 4 
T=S 
n=0 
= &(l—s), sis<l, 
