SUR LES SÉRIES DE COEFFICIENTS BINOMIAUX. 53 
(54) étant convenablement choisie), la série converge done pour 3t(z)7 f 
Nous avons done démontré: 
Soit W(x) une fonction analytique holomorphe pour R(x) > B et 
| W(P re) | <er{r)(1 + 7)? const. 
l(p) = g sin e + cos p log 2 cos 9. 
Cette fonction peut être représentée par une série (5) dont les coefficients ne 
dépendent que des valeurs Win), m entier, comme montrent (9) et (10). 
L'abscisse de convergence 4 de cette série est inférieure ou égale au plus 
grand des nombres B et 1 Fa. 
Inversement, si la série (5) converge pour R(x) > B, on a 
=e B le + EC 
| W(B, + rete) | ee Lu cr} ER 
V1 +7 eos q 
pour tout B, > B, elr) tendant uniformément vers zéro. 
12. Les méthodes de prolongement. Ce résultat nous 
donne la clef des méthodes de prolongement de la série W(x). Si 
p21--a, la série (5) converge dans tout le demi-plan où la fonc- 
tion W(x) est holomorphe. Mais si f — 1-- 4, on sait seulement que 
4<1-+a. Pour prolonger la série au delà de la droite 3i(x) — 4, on 
fait la transformation z|z--r, ou l'on applique la sommation de Cesaro. 
Dans le premier cas, on développe en une série (5) la fonction W(x—r) 
pour laquelle les nombres f et a sont égaux à tr et a. Dans 
celle méthode on augmente donc le nombre B. La sommation de Cesàro 
d'ordre r est équivalente au développement en série (5) de la fonction 
Me) 
(x — 2) (x DSTI 
p et a sont égaux 
nombre a. 
Pour la serie (22) le théorème précédent s’enonce ainsi (nous 
remplacons le nombre r par m): 
Si W(x) est une fonction holomorphe pour R(x) = B et si elle vérifie 
l'inégalité (54), l'abscisse de convergence A(m) est égale ou inférieure au 
Gr r) Pour cette fonction les nombres 
=, 
+ B et a—r—1. Dans cette méthode on diminue le 
