SUR LES SÉRIES DE COEFFICIENTS BINOMIAUX. 55 
rr pe 
(55) | W (p, = revs) | A eae SE — (cos Pi + 
ere cose gn 
kN 
= /ECONSU 
(5 
Done, en particulier, u(f,) € «(p). En faisant usage d'un théorème de 
M. LiwpELOF', on montre facilement que w(f) < u(fi) + [f — BI, si 
P B. ulp) étant fini. ulf) est donc une fonction continue pour B > f. 
Nous remarquons, en passant, que l'inégalité (55) peut nous donner l'idée 
d'introduire deux nombres a et b au lieu du nombre a en posant 
mare) (1 --rj(L-:7 cos @) const. 
Considérons la fonction u(ß) + 1 —r-—— f; elle est décroissante. 
Si elle est positive pour une valeur f f,, elle possède un zero 
P = B, > B,; si elle est négative pour tout f — f,, nous posons f,' = f... 
D'une manière analogue, si la fonction w(ß) — '/ — r — B. s'annule 
pour une valeur de f > f,, nous designons cette valeur par f," et si 
cette fonction est négative pour tout f > f,, nous posons f," = f,. 
Désignons par M(x, y) le plus grand des nombres x et y. Alors, 
d'aprés le théoréme que nous venons de montrer, 
A(r) < M(B, ulf) - 1 — 7) 
quel que soit f > f,.. Or 
M(B, (8) + 1— vr) 2 f, 
MIB eB.) — ry. si B, Bo 
MEE. (Bs e) l—r)= B. ds Sie BB, 
« étant positif mais arbitrairement petit. Par consequent 
a(r) < B. , 
d'ailleurs l'inégalité la plus précise qu'on puisse tirer de notre théorème. 
Du méme théoréme il suit que la fonction u(f) — !/z — r — f est né- 
gative pour tout f > A(r) ce qui donne 
p." € kr) . 
! Quelques remarques sur la croissance de la fonction &(s), Bull. Sciences Math., t. 32. 
