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Nous avons ainsi enfermé l'abscisse A(r) entre les bornes f," et ß,'. 
La différence de ces nombres est égale ou inférieure à 1,5. En effet, 
si u(B)--1—r-—f «0 pour tout B>f,, on a B,'— B," —f,, 
Sv. sem sos MONA eu iue 
soit done ß,' > B, + 1,5; alors 
Uu (B, — 1,5) —'/2—r—(6,’— 1,5) 2 u(B,) +1 —r—B,' — 0 
d’où l'on voit que f£," » B, — 1,5. Nous avons suppose w(f) fini pour 
p B,; soit 4 le plus petit nombre > fp, tel que w(f) soit fini pour 
B» A. Si Von remplace dans ce qui precede ß, par A, on a toujours 
BM (n) eso po t CRY coge que 
13. L'abscisse limite. La suite 2, A(l), 4(2),... etant non 
croissante a nécessairement une limite 
lim Mr) = 4. 
Cette limite peut être finie ou égale à — c. Supposons d'abord 
A> — o. Alors, quelque petit que l'on donne « > 0, on peut prendre 
r suffisamment grand pour que la serie (22) converge pour R(x) 2 de. 
Done u(Al d- s) EA et r4- '/2. Inversement, si W(x) est holomorphe 
pour X(x)2 B et u(B) € K, la série (22) converge pour R(x) > B, si 
lon prend r21-- K— f. L'abscisse limite 4 jouit done des pro- 
priétés suivantes: 
Si & est positif mais arbitrairement petit, la fonction W(x) est holo- 
morphe pour R(x) > A+e et u(A+e) est fini; si W(x) est holomorphe 
pour R(x) 2 A—e, on a u(A — sc) = ©. 
On peut done dire que la série (5) peut être prolongée par les 
transformations x|x--r aussi loin du côté gauche que la fonction W (x) 
reste holomorphe el quen méme temps la fonction u(p) soit finie. 
L'égalité Ar) —.4 peut être satisfaite par une valeur finie r — 7 
(et par conséquent par tout r >>) ou par r — o» seulement. La condi- 
tion nécessaire et suffisante pour que le premier cas ait lieu est que la 
