SUR LES SÉRIES DE COEFFICIENTS BINOMIAUX. 57 
fonction u(B) soit bornée supérieurement pour B > A. En effet, si u(ß)<K 
pour f>A, on a 
A(F) € M(A+e, A) 
pour r— 1-- K — 4, « étant positif mais aussi petit qu'on veut. Done 
Ar) =A. Inversement, si Ar) =4, on a 
BA) = An le 
pour tout «> 0. 
La serie a termes positifs et non croissants 
(4 — a(1)) + (AT) — 2(2)) + (4(2) — (a(8)) +... 
étant convergente, on a 
e(r 
A(r) — Ar + 1) = se) ; 
ce qui peut servir de mésure de la rapidité avec laquelle on s'approche 
de la ligne R(x) = 4. 
14. Fonctions entières données par une série de coeffi- 
cients binomiaux. Supposons maintenant 4 — — o»; alors W(x) est 
une fonction entière. Si 47 — o, il en sera de méme de tous les 
i(r); pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que w(f) > — pour 
une valeur finie de B. Si 1=—, la série converge absolument 
dans tout le plan; pour qu'une fonction entière W(x) soit développable en 
une série de coefficients binomiaux (5) qui converge dans tout le plan, il 
faut et il suffit que, quelque grand qu'on donne le nombre positif M 
We) SCANS 
pour tout B et pour r suffisamment grand, uniformémenten q. 
La fonction (x) peut évidemment être d'ordre infini; on peut 
p. e. prendre une fonction entière qui croit comme une puissance de 
x dans un angle de grandeur > x autour de l'axe positif. On voit que 
la condition 
MZ (B. ar re) «Sa ae? 
Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups., Ser. 4, Vol. 4, N. 3. Impr. !?/e 1915. 8 
