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pour tout f fini et pour 7 suffisamment grand, est suffisante; done à 
fortiori la condition que le module maximum de (x) pour x —r est 
inférieur à a", « < 2. 
Supposons que {= — 1 est un point régulier de la fonction Fft). 
Alors la fonction f(x) est régulière pour x = o» et inversement. Plus 
généralement, si le point / — — 1 est un póle d'ordre ; de la fonction 
F(t), le point x = c» est un pôle d'ordre m de f(x). Alors dans l'inté- 
erale (52) le contour S peut être réduit à un contour fini et fermé. 
W(x) est donc une fonclion entière. Ce résultat a été obtenu d'une autre 
voie par M. WicERT'. Nous pouvons ajouter que W(x) est d'ordre 
c", a étant fini. Prenons en effet pour chemin d'intégration dans 
l'intégrale (52) la droite R cos & — ‘/« pour —6,-6-96, et l'are de 
circonférence R — 9, —@ = 9 E 9,, en posant w= Re”, o cos & = "A. 
Si o est suffisamment grand, /(w) est régulière sur ce contour. On 
aura pour 9t(z)- << 4-4 pe: 
(56) (ren) ea EC ons 
Inversement, si W(x) est d'ordre e", « fini, et si À < + o», la fonction 
f(x) est holomorphe pour x=. Tout d'abord on montre que ces 
: an 
deux hypothèses entraînent une inegalite (56) avec 8, = ao! l'on 
pose | W(x)| <e’ const. Ecrivons 
Bio 
S dz 
g(x) = — | WE)Z re | 
pix 
RIT 
WIE ti) eet of const, 2 meme 
Done, c étant indépendant de f , 
Ich ala 2 à Un gn NG a 9 LI 
Sur une transformation de la série DE (s — 1)(s -- 2)... (s— n +1), Arkiv 
n! 
0 
för Matematik ete., t. 7, N:o 26 p. 10. De l'égalité 4 = 2 — 1 p. 30 et des propriétés de 
l'ordre on conclut immédiatement non seulement que W(x) est une fonction entière mais 
aussi que 4 = — co et que A(r) — Ar + 1) = 1. 
