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SUR LES SÉRIES DE COEFFICIENTS BINOMIAUX. 
oo 
Ig(z)| «c (y if e- | W(B + ti) | dt 
NS) 
AC " 3 
expression qui tend uniformément vers zéro lorsque f tend vers — si 
Echo) 
J étant un nombre positif fixe. Pour ces valeurs de #, on aura donc 
oo 
fx) = —EXW(—-n)". 
n=1 
Cette série converge d’après (56) pour |x| > o et l'égalité subsistera 
done dans ce domaine. 
Soit W(x) une série de coefficients binomiaux avec l'abscisse de con- 
vergence « + oo. La condition nécessaire et suffisante pour que celle série 
représente une fonction entière d'ordre e" est que x = — 1 est (un pôle’ 
ou) un point régulier de la fonction F(t). Alors Mr) —X(r--1)—1. 
Supposons en partieulier que le nombre « peut étre pris arbi- 
trairement petit; l'abscisse 4 est done — co. Alors f(x) est une fonc- 
1 
tion entiere de fz sans terme constant comme l’a montré M. Wr- 
GERT”. F(t) sera done une fonction entière qui s'annule pour = — 1. 
Inversement, si F(/) est une fonction entière, la fonction W(x) est 
d'ordre &*(0. Pour qu'une série (5) représente une fonction entière d'ordre 
ers), il faut et il suffit que F(t) soit une fonction entière. Alors à = — oo. 
Plus généralement, si cette série contient des développements de zéro, 
on a 42 — c; pour qu'une telle série représente une fonction entière 
d'ordre er”), il faut et il suffit que Ft) n'ait d'autres points singuliers 
à distance finie que le pôle {= — 1. 
Supposons enfin que /(t) est régulière pour |/| «0, 01. 
| 2 
Alors la fonction f(x) est holomorphe pour | x — e -— 1 > g E E et in- 
| 
! Si la série contient des développements de zéro. 
? Sur les fonctions entières, Ofversigt af Vetenskapsakademiens Fürhandlingar, Oct. 1900. 
