2 C. V. ÖSEEN, 
une série de notes belles et importantes publiées dans les Acta mathe- 
matica. On peut aussi, avec M. BoREL, se donner un but plus géné- 
ral. On peut se demander s'il n'est pas possible de donner un sens 
bien défini méme à une série entière dont le rayon de convergence 
est nul. Et il y a lieu aussi de se poser la question que voici: n'est-il 
pas possible, du moins dans certains cas, qu'étant donnée une expres- 
sion analytique définissant des fonctions analytiques différentes dans 
des parties différentes du plan, il existe des rapports de telle nature 
entre ces fonctions qu'on peut considérer l'une comme un prolonge- 
ment de l’autre? 
Le problème auquel on est conduit dans lhydrodynamique est 
ce probleme plus général posé par M. BomEr. Il est clair que le pro- 
longement analytique des fonctions analytiques auxquelles on arrive 
est de la plus haute importance. Mais cela n'épuise pas la question. 
Dans lhydrodynamique, on n'est pas sür à priori que les fonctions 
auxquelles on arrive, si méme elles sont analytiques, soient constituées 
dans tout leur domaine d'existence par des branches d'une seule fonc- 
tion analytique. On ne peut pas non plus savoir d'avance si une fonc- 
tion analytique qui a une signification mécanique déterminée dans un 
certain domaine, conserve cette signification dans tout son domaine 
d'existence, ou mieux, sur toute la portion de l'axe réel où elle existe 
et prend des valeurs réelles. Ci dessous je traite un exemple où les 
deux particularités dont il vient d'étre question se présentent. Les ex- 
pressions analytiques qui fournissent la solution du probléme d'hydro- 
dynamique, doivent done, du moins dans certains eas, posséder la pro- 
priété de représenter une premiere fonction analytique dans un certain 
domaine, et une deuxième dans un autre domaine, 
Dans la première partie de ce mémoire je traite le probléme 
suivant. Un liquide visqueux incompressible, indéfini dans tous les 
sens, est soumis à l’action d'un système de forces qui ont pour com- 
posantes oAAX (x, y, 2, 0), oAY, QAZ. À l'instant /— 0, les com- 
posantes u, v, w de la vitesse du liquide ont des valeurs données: 
u=ım (x, y, 2), v — Avo, W = AW. On demande de ealeuler le 
mouvement du liquide pour des valeurs positives de /. Les résul- 
tats que j'ai obtenus auparavant permettent d’affirmer que si X, Y, Z, 
Uy, Uo, Wy remplissent certaines conditions, ce probléme admet une solu- 
tion dans laquelle 4, v, w peuvent étre représentés par des séries entie- 
