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longtemps qu'il n'est pas établi que ce cas ne peut pas se produire, 
les développements de M. MrrrAc-LEFFLER ne peuvent pas, quelque 
soient leur beauté et leur importance, étre regardés comme fournissant 
la solution du probléme qui nous occupe. Les développements en sé- 
rie qu'on obtient par cette voie présentent encore un autre inconvé- 
nient, dont l'importance n'est pas moindre. On ne sait pas du tout 
s'ils représentent des fonctions continues de {. On ne sait done pas 
si réellement ils représentent une solution du probléme proposé dans 
tout leur domaine de convergence. 
Au lieu de se baser sur le fait que noire solution primitive est 
valable pour toute valeur positive de /, pourvu qu'on se place suffi- 
samment prés de 4 — 0, on peut partir de la propriété qu'elle est va- 
lable pour toute valeur de A, pourvu qu'on prenne / assez petit. Si 
lon se donne dans le plan de la variable 4 une région finie, quelque 
grande qu'elle soit, il y aura toujours une valeur positive /, de / telle 
que notre solution primitive soit valable dans la région considérée pour 
toutes les valeurs de / satisfaisant à 0 € / <td. Puis on peut prendre 
les valeurs de u, v, w qui répondent à {= £, comme point de départ, 
et tächer de refaire les calculs pour un intervalle 4 Et Et,, ete. Alors 
se pose la question suivante: quelles sont les propriétés de l'expression 
analytique qu'on obtient de cette manière? Dans quelle région de 
l'espace (4, 4, f) cette expression nous donne-t-elle la solution de 
notre probléme? 
Pour eommencer, on voit aisément que les expressions obtenues 
aprés que ce procédé d'intégration a été n fois mis en exécution, ont 
la forme de séries n fois infinies procédant suivant les puissances en- 
tieres et positives de A, les mots étant pris dans la signification que 
leur a donnée M. Mrrrac-Lerrter. Ces séries peuvent être transfor- 
mées en séries de polynomes ordonnés suivant les puissances de 4. 
Je dirai qu'un point 4’, # (À' = 4; Fi) est régulier si pour la 
valeur 4’ de 4 et pour les valeurs de / satisfaisant à 0 € £ € ' les 
quantités w, v, w sont des fonctions continues de x, y, 2, í qui ad- 
mettent des dérivées par rapport à x, y, 2, et qui satisfont à certai- 
nes inégalités que nous indiquerons plus loin d'une manière complète, 
mais dont les plus importantes sont 
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