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REPRESENTATION ANALYT. DE LA VITESSE DANS L'HYDRODYNAMIQUE. Hl 
Pourque le systeme I soit valable, il faut que 7 2 4 > 0. Le sy- 
steme I, joint aux conditions initiales: u = Aw, , v = Av,, w = Aw, pour 
(— 0, définit d'une manière univoque une solution qui satisfait aux 
conditions (2) et (3), ou, en d'autres mots, une solution régulière, 
Dans un article ulterieur', j'ai montré qu'on peut déduire direc- 
tement ces équations intégro-différentielles des hypothèses physiques 
fondamentales, sans passer par l'intermédiaire des équations aux déri- 
vées partielles. En procédant ainsi, on a l'avantage de ne jamais de- 
voir introduire dans ses raisonnements les dérivées secondes de w, v, 
w par rapport à x, y, 2, les dérivées premières par rapport à ¢, ete. 
C'est pourquoi je veux dans la suite partir du systeme I, en le regar- 
dant comme étant dans notre cas l'expression adéquate des hypothe- 
ses fondamentales. 
Les résultats que j'ai fait connaitre dans »Formules de Green» 
I, permettent d'affirmer que toute solution régulière du système I peut, 
pour des valeurs suffisamment petites de |2|, être représentée par 
une série procédant suivant les puissances de 4. Pour commencer, 
je me propose de faire subir ici une extension à ce résultat. Je dis 
que toute solution du système I qui est régulière dans un certain in- 
tervalle 0 € 7 =E, est une fonction analytique de A. Ce théorème, 
qui est manifestement d'une importance capitale pour le probléme 
traité ici, est un corollaire d'un théorème plus général. Je dis que 
si, pour une certaine valeur réelle ou complexe de A, le système I a 
une solution qui est régulière dans un intervalle 0 Et * /', ce systeme 
aura encore une solution régulière dans le méme intervalle si l'on 
remplace BEC CY 47 pones Arcu pay PZN net 
Au, A, Aw, par Au, + AW. Av, + AUS Aw) + AUS ; sous la'con- 
dition que 4”, YO, ZO et ur, ww, wi satisfassent respectivement à 
des inégalités de la forme (1) et (2), que |4,| soit suffisamment petit, 
et qu'on ait ; 
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Je dis de plus que cette solution peut étre représentée par des séries 
procédant suivant les puissances de A. 
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I Über die Bedeutung der Integralgleichungen etc., Arkiv fór mat., astr. och fysik, 
Bd 6, N° 33. 
