REPRÉSENTATION ANALYT. DE LA VITESSE DANS L'HYDRODYNAMIQUE. 29 
Je dis que pour chaque valeur entière et positive de n ainsi que pour 
=0 on a 
VOR, (n) 
Jun) |, | on) |, | wn) | < ü AT BR l4KK, vg! 
du(n) 
0x 
dw(n) 
02 
Aa, See 
(CE sat RB 
Cy ORC ONC) 
On voit quil en est ainsi en passant de n a n +1 et en observant 
que les inégalités sont à coup str valables pour n= 0. 
Si maintenant nous considérons les séries 
zx A un) cm Avo 2) 2e IE 
are SUE 
0 
nous voyons qu'elles sont nécessairement convergentes lorsque la série 
ud a («= 4A4KK,VOf) 
0 
converge. Admettons la convergence de cette dernière série et dé- 
signons sa valeur par y. Cette fonction doit vérifier l'équation 
xy -y—1 
Or, il y a réellement une série entière dont le premier terme est 1 et 
qui vérifie cette équation, notamment celle qu'on obtient par le dé- 
veloppement de \ 
NUES C E 
Mi SE = Is 
Par là on voit clairement que nos séries convergent si |x| < 1 
En appliquant les méthodes qu'on suit d'habitude dans des cas 
analogues, on montre aisément que, moyennant la dernière condition, 
nos séries définissent une solution régulière du systeme II et que 
cette solution est unique. 
Nous voyons done qu'on peut affirmer ce qui suit: si |A, | est 
assez petit, le système des équations II a une solution qui est régu- 
