REPRÉSENTATION ANALYT. DE LA VITESSE DANS L'HYDRODYNAMIQUE. 37 
ainsi que des expressions analogues pour v(x, y, 2, 0) et w (x, y, 
2, l') Nous avons ainsi obtenu une expression analytique de notre 
solution qui est valable dans toute l'étendue de D(U, a, I, T). 
Passons maintenant à la limite pour N =o. Considérons done 
les expressions 
lim-u, , lim: vy. ‘lim 203. 
N=» No N=0 
Il est clair que ces expressions ont un sens déterminé en cha- 
que point A, / de D. Nous pouvons en effet toujours prendre U, 1, 
T suffisamment grands et « suffisamment petit pour que le point con- 
sidéré vienne à l'intérieur de D(U, «, 1, T). Et tout domaine D(U, 
a, l, T) jouit de la propriété que uy, vy, wy y sont indépendants de 
N dés que N a dépassé une certaine valeur. Il résulte encore de ce 
raisonnement que la représentation analytique que nos trois expres- 
sions donnent de la solution régulière du systeme I, est valable dans 
toute l'étendue de D. Nous obtenons de la sorte une premiere réponse 
à la question proposée, réponse qui manifestement est d'une complica- 
tion extreme. 
Je me propose maintenant de montrer qu'il est aussi possible 
de trouver une représentation analytique plus simple de la vitesse. 
Je vais montrer que les expressions obtenues peuvent être remplacées 
par des séries de polynomes ordonnés suivant les puissances de 4. 
Considérons de nouveau le domaine D(U, a, Il, T). Designons par 
U' une vitesse positive inférieure à U. Le domaine D(U', a, I, T) 
est alors intérieur à D(U, «a, 1, T). Pour commencer, j'affirme ce qui 
suit: quelque petite que soit la vitesse positive U’, on peut toujours 
trouver trois polynomes P,, P,, P, ordonnés suivant les puissances 
de À tels que, quelque soit la position du point 4, /', pourvu qu'il ap- 
partienne à D(U', a, 1, T), et quelques soient les valeurs de x, y, 2, 
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