REPRÉSENTATION ANALYT. DE LA VITESSE DANS L'HYDRODYNAMIQUE. 15 
employée ici est une généralisation de la première méthode de M. 
MrrrAG-LEFFLER. Je veux maintenant faire ressortir qu'il en est ainsi. 
— Il est clair que notre méthode n'est pas seulement applicable au 
problème d'hydrodynamique, mais aussi à un groupe étendu d'équa- 
tions intégrales et integro-differentielles. Il y a un intérêt particulier 
à l'appliquer à l'équation simple 
ya) = ye) + 2 f pda (x > x) 
avec la condition y(0)= 1. L'application de notre méthode fait voir 
que la fonction y(2, x) est une fonction analytique de A, et qu'elle 
peut être représentée dans tout le domaine où elle est régulière par 
une série de polynomes en 4, dont les coefficients sont des fonctions 
de x. Le domaine de régularité s'obtient ici de la maniére suivante: 
on mene par chaque point du plan de la variable 2(A- 1, +414) une 
demi-droite issue de ce point, parallèle à l'axe des v et dirigée dans 
le sens des x positifs; on marque sur cette demi-droite le point qui 
constitue la borne supérieure des intervalles ayant x — 0 comme ori- 
gine dans lesquels y est borné; enfin l'ensemble des points de chaque 
demi-droite qui sont situés au delà de la borne supérieure correspon- 
dante est exclu de la moitié positive (x > 0) de l'espace. Dans le cas 
qui nous oceupe actuellement, nous pouvons déterminer le domaine de 
regularité en détail. Notre équation donne 
dy mE 
ax 
et, par consequent, 
d U 1 s "e. | 
Les points singuliers de la fonction se trouvent par consequent sur 
la ligne 
ll > 0) 
9 ? 
Le domaine qui doit étre exclu de la moitié de l'espace répondant à 
x 20, sobtient donc en menant par chaque point de cette ligne une 
demi-droite parallèle à l'axe des x positifs. 
